Numerical evidence — paper-direct 수식, mpmath data tables
← 한국어 포스트 전체 · English · 2026-05-02
프로젝트가 published 수식 대비 실행한 구체적 numerical sanity-check 모음. 어느 것도 새 정리 아님 — established RH-equivalent statements의 empirical confirmation. 모든 계산
mpmath고정밀 (dps = 30~50).본 post의 이유: reader가 “실제 수식·도출은 어디?”라고 물었음 — 정확한 지적. 프로젝트
attempts/로그에는 paper-direct 수식 사용 numerical 작업 substantial하나 블로그에서 surface 안 됐음. 본 post가 가장 관련 있는 data tables를 inline으로 모음.
1. Voros 2006 tempered asymptotic — Li 계수 $\lambda_n$
Setup (Voros 2006, “Sharpenings of Li’s criterion for the Riemann hypothesis”)
Li 계수 정의: \(\lambda_n = \sum_{\rho} \left(1 - \left(1 - \tfrac{1}{\rho}\right)^n\right)\) 비자명 $\zeta$-zeros $\rho = 1/2 + i\gamma$ 합 (multiplicity, conjugate-paired). Li criterion (1997):
\[\mathrm{RH} \iff \lambda_n \geq 0 \text{ for all } n \geq 1.\]Voros 2006 sharp dichotomy (paper §1, Theorem):
- RH true (tempered): $\lambda_n \sim \frac{n}{2}\left(\log n - 1 + \gamma - \log 2\pi\right) + o(n)$
-
RH false: $\lambda_n \sim \sum_{ z_k <1} z_k^{-n} + \overline{z_k}^{-n}\ \mathrm{mod}\ o(e^{\varepsilon n})$, $z_k = (\tau_k - i/2)/(\tau_k + i/2)$ off-line zeros — exponentially growing oscillations.
Large-$n$ limit에서 mutually exclusive.
프로젝트 numerical run (mpmath, dps=50, 500 zeros, $C_1 = (\gamma - 1 - \log 2\pi)/2 \approx -1.130$):
| $n$ | $\lambda_n^{(500)}$ (partial sum) | Voros prediction | ratio | sign |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2.16 | 0.21 | 10.33 | + (sub-asymptotic) |
| 50 | 40.66 | 41.28 | 0.985 | + (sweet spot) |
| 100 | 107.12 | 117.23 | 0.914 | + (good agreement) |
| 200 | 260.77 | 303.77 | 0.859 | + |
| 500 | 707.36 | 988.49 | 0.716 | + (truncation begins) |
| 1000 | 1218.90 | 2323.55 | 0.525 | + |
| 2000 | 1367.54 | 5340.24 | 0.256 | + (truncation dominant) |
관찰 (paper-direct, 새 claim 아님):
- Sweet spot $n \approx 50$: ratio $\approx 1.0$ — Voros tempered prediction과 quantitative agreement.
- 모든 $n$에서 $\mathrm{sign}(\lambda_n) = +$. Voros RH-false case (exponential oscillations)는 관찰되지 않음 — verified region에서 RH true와 consistent.
- Truncation effect: $n > 200$에서 ratio 감쇠 — partial-sum over 500 zeros가 contribution under-count. 더 많은 zeros → 더 큰 valid $n$ range.
이건 새 의미의 RH evidence 아님 — li_criterion.py tool이 Voros published asymptotic 재현하는지 numerical sanity-check. SOTA RH numerical verification (Platt-Trudgian 2021, $H = 3 \times 10^{12}$)은 본 프로젝트 500-zero scale보다 many orders 위.
2. Lagarias 2002 — Eq. (2.18), $\lambda_n$ via power sums $\sigma_j$
Setup (Lagarias 2002, Acta Arith.)
Inverse $\zeta$-zeros power sums: \(\sigma_j := \sum_{\rho} \frac{1}{(\rho(1-\rho))^j}\ \text{(대략; 정확 정의는 paper §2)}\)
Lagarias paper §2 Eq. (2.18): \(\lambda_n = \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \binom{n}{j} \sigma_j\)
프로젝트 numerical 검증 (mpmath, dps=40, 200 zeros + 200 conjugate-paired):
| $j$ | $\sigma_j$ |
|---|---|
| 2 | $-4.20 \times 10^{-2}$ |
| 3 | $-1.11 \times 10^{-4}$ |
| 4 | $+7.36 \times 10^{-5}$ |
| 5 | $+7.15 \times 10^{-7}$ |
검증 표 — $\lambda_n$ 두 방식 계산:
| $n$ | $\lambda_n$ (direct) | $\lambda_n$ via Eq. (2.18) | diff |
|---|---|---|---|
| 3 | 0.189091 | 0.189091 | 0 |
| 5 | 0.524022 | 0.524022 | 0 |
| 10 | 2.073258 | 2.073258 | 0 |
| 20 | 7.944988 | 7.944988 | 0 |
Diff exactly zero within mpmath precision (40 decimal digits). Lagarias Eq. (2.18) numerical confirmation, 새 결과 아님.
3. Mertens function $M(x)$ — RH-equivalent statement
Setup: Mertens function: \(M(x) := \sum_{n \leq x} \mu(n)\) $\mu$ = Möbius function. 두 관련 statement:
-
Mertens conjecture (1897): $ M(x) /\sqrt{x} \leq 1$ for all $x \geq 1$. Odlyzko–te Riele (1985)이 반증, violations 매우 큰 $x$에서. - RH-equivalent: $M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})$ for all $\varepsilon > 0$. Mertens보다 약함, RH와 동치.
프로젝트 numerical (small $x$, Möbius direct sum, mpmath):
| $x$ | $M(x)$ | $|M(x)|/\sqrt{x}$ |
|---|---|---|
| 500 | $-6$ | 0.268 |
| 1000 | $+2$ | 0.063 |
| 3500 | $+12$ | 0.203 |
| 7000 | $-25$ | 0.299 |
| 8500 | $+29$ | 0.314 |
| 10000 | $-23$ | 0.230 |
| 20000 | $+26$ | 0.184 |
| 50000 | $+23$ | 0.103 |
| 본 range 최대 $ | M(x) | /\sqrt{x}$: 0.32. |
관찰:
-
Small-$x$ window ($x \leq 50000$)에서 $ M(x) /\sqrt{x} < 0.4$ — (이미 반증된) Mertens와 RH-equivalent 모두와 consistent. -
Odlyzko–te Riele 1985의 disproof 증명: $ M /\sqrt{x} \leq 1$ 첫 violation은 매우 큰 $x$에서, 본 window 외부. Small-$x$ data가 못 보는 게 정상. - $M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon})$ 검증은 본 data scale 외 asymptotic analysis 필요 — 시도 X.
프로젝트 기여: 0 novel content. mertens.py이 textbook fact (Möbius sum 수렴 pattern) 재현 sanity-check.
4. Wigner surmise — GUE pair-correlation of unfolded $\zeta$-zeros
Setup (Montgomery 1973 conjecture; Odlyzko numerical confirmation)
Unfolded 비자명 $\zeta$-zeros (local mean spacing 1로 rescale)의 nearest-neighbor spacing distribution $P(s)$가 asymptotic하게 Gaussian Unitary Ensemble (GUE) Wigner surmise와 일치 conjecture:
\[P_{\mathrm{GUE}}(s) = \frac{32}{\pi^2} s^2 \exp\!\left(-\frac{4 s^2}{\pi}\right)\]프로젝트 KS test:
| Sample | $D_n$ (KS statistic) | $p$-value | Verdict |
|---|---|---|---|
| $N = 300$ zeros (attempt 004) | 0.043 | 0.272 | PASS (GUE reject 안 함) |
| $N = 500$ zeros (attempt 048) | 0.0563 | 0.0812 | MARGINAL |
관찰:
- 더 큰 $N$ → KS test sharper, 작은 deviation도 detect. $p = 0.27$ → $p = 0.08$ 감소는 GUE conjecture가 틀렸다는 evidence 아님 — finite empirical histogram을 asymptotic distribution과 비교 시 expected behavior.
- SOTA (Odlyzko, billions of zeros)는 우수한 quantitative GUE agreement. 본 500-zero scale은 claim/refute 불가.
- 프로젝트 기여: 0 novel content.
pair_correlation.py+spacing_distribution.py기본 기능 실행.
5. Hilbert–Pólya hypothetical operator — formal statement
Setup (Hilbert, Pólya ~1914 — informal letters; widely attributed)
추측 form: $H = H^\dagger$ self-adjoint operator on some concrete Hilbert space, 다음 성질: \(\mathrm{Sp}(H) = \{\gamma_n : n \geq 1\}\) ${\gamma_n}$ = 비자명 $\zeta$-zeros imaginary parts. 그렇다면 spectral theorem이 $\gamma_n \in \mathbb{R}$ 함의, 따라서 RH.
프로젝트 역할: $H$ search 아님. 11 paper-direct candidates (BBM 2017, Sierra 2007/2016, Connes-Consani 2021, etc.)를 strict Hilbert-Pólya criterion (axiom 6 strict: single $H$, no fine-tune, all zeros)에 대해 test. 11 모두 fail. Audit table + per-candidate paper-direct anchors는 Lemma 9 + Finding 1 참조.
Lagarias §8 (1) hypothetical operator는 self-adjointness와 technically incompatible: \(\lambda = s^2 - \tfrac{1}{4}, \quad s = \tfrac{1}{2} + i\gamma \implies \lambda = -\gamma^2 + i\gamma\) 복소수. 자기수반 operator의 spectrum은 real 의무이므로, eigenvalue formula $\lambda = s^2 - 1/4$는 self-adjoint operator에 적용 불가 — paper §8 (1)이 hypothetical로 frame하는 이유.
아닌 것
- 어떤 RH-equivalent statement의 증명 X. 각 섹션은 published asymptotic/formula의 numerical verification, derivation 아님.
- Novel mathematical content X. 위 모든 수식은 published paper 출처 (Voros 2006, Lagarias 2002, Montgomery 1973 등).
- Large-scale X. 500-zero / 50000-Mertens scale은 SOTA (Platt-Trudgian $3 \times 10^{12}$ zeros, Odlyzko billions)보다 many orders 아래.
프로젝트 기여 = paper-direct bookkeeping — mpmath 도구가 published 수식 재현 확인 + truncation effect로 valid range 제한 명시.
Cross-references
- 11 spectral candidates audit (Hilbert-Pólya criterion): Lemma 9
- 4 papers audit (Wall #2 $\int E\,dt$ bound): Lemma 10
- Spectral candidate critical-reading template (BBM derivation 포함): Lemma 1
- Connes–Consani 2018→2021 progress (path 1): Finding 3